Qual a probabilidade do São Paulo ser campeão, dado que ganhou do Grêmio, de acordo com Bayes?

Todo sãopaulino este ano se sentiu confuso como Lucas Salgado, do BBB. Entrou na casa 7 pontos à frente do segundo, e, de repente, saiu 7 pontos atrás. Apesar da frustração, ontem, dia 14/02/2021, o clube paulista conseguiu sua primeira vitória no ano, contra o Grêmio, por 2 a 1. E alguns colegas tricolores voltaram a cogitar o título. Pensei: será que temos razões para acreditar? O que Bayes diria? A partir disso, resolvi calcular as chances do São Paulo ser campeão, dado que ganhou do Grêmio.

Bayes nos diz que a probabilidade de um evento A (\(Pr(A)\)) dado um evento B (\(Pr(B)\)) é:

\[Pr(A/B) = \dfrac{Pr(B/A).Pr(A)}{P(B)}\]

Por outro lado, a probabilidade do evento B é:

\[Pr(B) = Pr(B/A).Pr(A) + Pr(B/A^{c}).Pr(A^{c})\]

Se pensarmos em termos de A = ganhar do Grêmio e B = Ser Campeão, podemos olhar para o passado para obter esses valores e estimar as chances do São Paulo este ano. Para isso, precisamos de 4 estatísticas do Brasileirão: a probabilidade do SPFC ganhar do Grêmio, dado que é campeão (\(Pr(A/B\)); de ganhar do Grêmio, não sendo campeão (\(Pr(A/B^{c})\)), e as probabilidades de ser campeão e não ser.

Segundo o site ogol, especializado em estatísticas sobre futebol, Grêmio e São Paulo já se enfrentaram 67 vezes por campeonatos Brasileiros, com 25 vitórias para o tricolor paulista. Nos anos em que foi campeão, o São Paulo venceu 5 vezes o Grêmio, em 8 confrontos, o que nos dá \(Pr(A/B) = 0,63\). Nos anos em que não foi campeão, o time paulista jogou 59 vezes contra os gaúchos, vencendo 20, ou seja, \(Pr(A/B^{c}) = 0,33\).

Ainda precisamos das probabilidades do São Paulo ser campeão e não ser. Segundo o conhecido estatístico estadunidense Nate Silver, famoso por prever resultados eleitorais, em parceria com a ESPN, o São Paulo tem hoje 1% de chance de ser campeão. Logo, \(Pr(A) = 0,01\) e \(Pr(A^{c}) = 0,99\).

Voltando a Bayes, sabemos então a probabilidade atual do São Paulo ganhar do Grêmio:

\[Pr(A) = Pr(A/B)*Pr(B) + Pr(A/B^{c})*Pr(B^{c}) = 0,63*0,01 + 0,33*0,99 = 0,33\]

O São Paulo tem hoje 33% de chance de ganhar do Grêmio. E, com isso, podemos calcular a probabilidade de ser campeão brasileiro, dado que ganhou do Grêmio:

\[Pr(B/A) = \dfrac{Pr(A/B)*Pr(B)}{Pr(A)} = \dfrac{0,63*0,01}{0,33} = 0,02\]

Por fim, hoje, dado que ganhou do Grêmio, o São Paulo tem 2% de chances de ser campeão do Brasileirão, segundo Bayes. Ou seja, esse Bayes é um baita ANTI…